Isi

• Langkah
• Tips

Determinan matriks sering digunakan dalam kalkulus, aljabar linier, dan geometri lanjutan. Di luar dunia akademis, insinyur dan pemrogram grafik komputer menggunakan matriks dan determinannya sepanjang waktu. Jika Anda sudah mengetahui cara mencari determinan matriks 2 x 2, operasi tambahan yang diperlukan di sini hanyalah penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.

Langkah

Bagian 1 dari 2: Menemukan Determinan

1. 

   Tuliskan matriks 3 x 3. Kita akan menyebut matriks ini A dan mencoba mencari determinannya, yang diwakili oleh "| A |". Berikut adalah notasi matriks yang akan kita gunakan dan contoh matriks kita:

2. 

   
   
   Pilih satu kolom atau baris sebagai referensi. Jawabannya akan sama terlepas dari baris atau kolom yang dipilih. Untuk saat ini, cukup pilih baris pertama. Nanti kami akan mengajari Anda cara memilih baris atau kolom yang akan mempermudah penghitungan.
   • Mari kita pilih baris pertama dari contoh matriks kita A. Lingkari "1 5 3" ("a₁₁ Itu₁₂ Itu₁₃" pada umumnya).

3. 

   
   
   Singkirkan baris dan kolom dari elemen pertama dari himpunan yang dilingkari. Lihatlah elemen pertama dari himpunan tiga angka yang dilingkari dan buat garis di atas baris dan kolom elemen itu, hilangkan mereka. Setelah melakukan ini, akan ada 4 angka tersisa, yang akan diperlakukan sebagai matriks 2 x 2.
   • Dalam contoh kita, garis referensi adalah "1 5 3". Elemen pertama ada di baris 1 dan kolom 1, jadi hapus semua elemen di baris dan kolom itu. Perlakukan angka yang tersisa sebagai matriks 2 x 2:
   •  1  5 3
   •  2 4 7
   •  4 6 2

4. 

   
   
   Temukan determinan dari matriks 2 x 2. Ingat, determinan dari matriks tersebut adalah ad - bc. Anda mungkin telah mempelajari proses ini dengan membuat X di atas elemen matriks 2 x 2 dan mengurangkan hasil kali dari elemen bertanda "/" dari hasil perkaliannya dari yang ditandai dengan "". Gunakan rumus ini untuk menghitung determinan dari matriks yang baru kita temukan.
   • Dalam contoh kita, determinan matriks = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.
   • Penentu ini disebut lebih kecil elemen yang kami pilih dalam matriks asli. Dalam hal ini, kami baru saja menemukan yang terkecil dari₁₁.

5. 

   Kalikan jawabannya dengan elemen yang dipilih. Ingat, Anda memilih elemen dari baris referensi (atau kolom) setelah memilih baris dan kolom untuk dihapus. Kalikan elemen ini dengan determinan yang baru saja Anda hitung untuk matriks 2 x 2.
   • Dalam contoh kami, kami memilih₁₁, yang memiliki nilai 1. Kalikan dengan -34 (determinan dari 2 x 2) untuk mendapatkan 1 * (-34) = -34.

6. 

   Tentukan tanda jawabannya. Sekarang, Anda akan mengalikan jawabannya dengan 1 atau -1 untuk mendapatkan kofaktor dari elemen yang dipilih. Pengali yang akan digunakan bergantung pada letak elemen yang dipilih dalam matriks 3 x 3. Hafalkan tabel sederhana ini untuk mengetahui pengali mana yang akan digunakan:
   • + - +
   • - + -
   • + - +
   • Bagaimana kita memilih₁₁, ditandai dengan +, kami akan mengalikan dengan +1 (artinya, kami tidak melakukan apa-apa). Jawabannya akan tetap -34.
   • Cara lain untuk mencari tanda adalah menggunakan rumus (-1)

7. 

   Ulangi proses ini untuk elemen kedua di kolom atau baris referensi. Kembali ke matriks asli 3 x 3, dengan himpunan bilangan yang kita edarkan sebelumnya. Ulangi proses yang sama dengan elemen berikutnya:
   • Hapus baris dan kolom elemen. Dalam kasus kami, pilih elemen yang akan dijadikan₁₂ (yang memiliki nilai 5). Hapus baris satu (1 5 3) dan kolom dua.
   • Perlakukan elemen yang tersisa sebagai matriks 2 x 2. Dalam contoh kami, matriksnya adalah.
   • Temukan determinan dari matriks 2 x 2 ini. Gunakan rumus "ad - bc" (2 * 2 - 7 * 4 = -24).
   • Kalikan dengan elemen yang dipilih dari matriks 3 x 3. -24 * 5 = -120
   • Tentukan apakah nilai yang ditemukan harus dikalikan dengan -1. Gunakan tabel tanda atau rumus (-1). Kami memilih elemen untuk₁₂, yang ada di "-" di tabel sinyal. Oleh karena itu, kita harus mengubah tanda jawaban kita: (-1) * (- 120) = 120.

8. 

   Ulangi proses dengan elemen ketiga. Masih ada kofaktor yang perlu kita temukan. Hitung "i" untuk suku ketiga dalam set referensi. Berikut adalah langkah demi langkah kecil untuk menemukan kofaktor a₁₃ dalam contoh kami:
   • Hapus baris 1 dan kolom 3 untuk mendapatkan.
   • Determinan dari matriks yang ditemukan adalah 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
   • Kalikan dengan unsur a₁₃: -4 * 3 = -12.
   • Elemen untuk₁₃ adalah "+" di tabel, jadi jawabannya adalah -12.

9. 

   Tambahkan tiga hasil yang diperoleh. Ini adalah langkah terakhir. Anda telah menghitung tiga kofaktor, satu untuk setiap elemen set referensi. Tambahkan ketiganya dan Anda akan menemukan determinan matriks 3 x 3.
   • Dalam contoh kita, determinannya adalah -34 + 120 + -12 = 74.

Bagian 2 dari 2: Membuat Masalah Lebih Mudah

1. 

   Pilih kumpulan referensi yang memiliki paling banyak nol. Ingat, Anda bisa memilih apa saja baris atau kolom sebagai set referensi. Jawabannya akan sama terlepas dari set yang dipilih. Jika Anda memilih baris atau kolom dengan nol, Anda hanya perlu menghitung kofaktor dari elemen bukan nol. Berikut penjelasannya:
   • Misalkan Anda telah memilih baris 2, dengan elemen untuk₂₁, Sebuah₂₂ dan₂₃. Untuk mengatasi masalah ini, kita perlu menganalisis tiga matriks 2 x 2 yang berbeda. Kami akan menyebutnya A₂₁, SEBUAH₂₂, dan A₂₃.
   • Determinan dari matriks 3 x 3 adalah₂₁| A₂₁| - Sebuah₂₂| A₂₂| + a₂₃| A₂₃|.
   • Jika istilah₂₂ dan₂₃ keduanya 0, rumus kita menjadi₂₁| A₂₁| - 0 * | A₂₂| + 0 * | A₂₃| = a₂₁| A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁| A₂₁|. Sekarang, kita hanya perlu menghitung kofaktor dari satu elemen.

2. 

   Gunakan penambahan kolom untuk menyederhanakan matriks. Jika Anda menambahkan elemen dari satu baris ke baris lain, determinan matriks tidak akan berubah. Hal yang sama berlaku untuk kolom. Anda dapat menerapkan proses ini beberapa kali atau mengalikan nilainya dengan konstanta sebelum menambahkan untuk mendapatkan angka nol sebanyak mungkin. Ini bisa menghemat banyak waktu.
   • Misalnya, Anda memiliki array dengan tiga baris:
   • Untuk membatalkan "9" di posisi a₁₁, kita bisa mengalikan baris kedua dengan -3 dan menambahkan hasilnya ke baris pertama. Baris pertama yang baru adalah + =.
   • Matriks baru akan memiliki kolom. Coba gunakan trik yang sama dengan kolom untuk mengatur ulang nilai a₁₂ terlalu.

3. 

   Pelajari cara tercepat untuk matriks segitiga. Dalam kasus khusus ini, determinannya hanyalah hasil kali dari elemen diagonal utama, dari₁₁ di pojok kiri atas hingga₃₃ di pojok kanan bawah. Kita masih membicarakan tentang matriks 3 x 3, tetapi yang berbentuk segitiga memiliki posisi elemen tertentu selain nol:
   • Matriks segitiga atas: semua elemen selain nol akan berada di atas atau di atas diagonal utama. Semuanya di bawah nol.
   • Matriks segitiga bawah: Semua elemen selain nol akan berada di diagonal utama atau di bawahnya. Semua yang di atas akan menjadi nol.
   • Matriks diagonal: semua elemen bukan nol berada di diagonal utama (bagian dari dua di atas).

Tips

• Metode ini dapat diterapkan pada matriks persegi dengan berbagai ukuran. Misalnya, saat menggunakannya dalam matriks 2 x 2, kita akan menghilangkan garis dan kolom pada elemen pertama dari himpunan yang kita edarkan, meninggalkan kita dengan matriks 3 x 3, yang dapat menghitung determinan seperti yang ditunjukkan dalam artikel ini. . Namun berhati-hatilah, proses ini bisa sangat melelahkan jika dilakukan dengan tangan.
• Jika semua elemen dalam satu baris atau kolom dari matriks tersebut adalah 0, maka determinan dalam matriks tersebut juga akan menjadi 0.