Isi

• Langkah
• Tips

Matematikawan dan programmer grafik sering kali perlu mencari sudut antara dua vektor. Untungnya, rumus yang digunakan untuk menghitung sudut ini hanya memerlukan produk skalar sederhana. Meskipun alasan di balik rumus ini lebih mudah dipahami saat menggunakan vektor dua dimensi, kita dapat dengan mudah menyesuaikannya dengan vektor dengan sejumlah komponen.

Langkah

Bagian 1 dari 2: Hitung sudut antara dua vektor

1. 

   Identifikasi kedua vektor. Tuliskan semua informasi yang diketahui tentang dua vektor. Untuk keperluan tutorial ini, kami akan berasumsi bahwa Anda mengetahui vektor hanya dari segi koordinat dimensinya (juga disebut komponen). Jika Anda sudah mengetahui modul atau standar dari vektor-vektor ini (yaitu, panjangnya), Anda dapat melewati beberapa langkah di bawah ini.
   • Contoh: kita akan mempertimbangkan vektor dua dimensi = (2,2) dan = (0,3). Kedua vektor ini dapat ditulis ulang sebagai = 2saya + 2j e = 0saya + 3j = 3j.
   • Meskipun contoh kita menggunakan dua vektor dua dimensi, kita dapat menerapkan instruksi berikut ke vektor dengan sejumlah komponen.

2. 

   
   
   Tuliskan rumus kosinus. Untuk mencari nilai sudut θ antara dua vektor, kita harus menghitung cosinus sudut tersebut terlebih dahulu. Anda dapat mencari dan mengetahui rumusnya secara detail atau cukup menuliskannya seperti di bawah ini:
   • cosθ = (•) / (||i> E5E5E5 ||i>i>)
   • ||| E5E5E5 mewakili modul (atau panjang) vektor ".
   • • mewakili produk skalar (atau produk internal) dari dua vektor.

3. 

   
   
   Hitung modulus setiap vektor. Bayangkan segitiga siku-siku dibentuk oleh komponen tersebut x vektor, komponennya y dan vektor itu sendiri. Dalam segitiga ini, vektor berperan sebagai sisi miring; oleh karena itu, untuk mencari panjangnya, kita akan menerapkan teorema Pythagoras. Hasilnya, rumus ini mudah diterapkan pada vektor dengan sejumlah komponen.
   • || u || = u₁ + u₂. Jika vektor memiliki lebih dari dua komponen, lanjutkan saja menambahkan + u₃ + u₄ +...
   • Oleh karena itu, untuk vektor dua dimensi, kita harus melakukannya || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Dalam contoh kami, ||i>i> = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Hitung produk skalar antara dua vektor. Anda seharusnya sudah mengetahui metode mengalikan vektor, juga disebut produk skalar. Untuk menghitung perkalian skalar dari dua vektor dalam kaitannya dengan komponennya, kita mengalikan komponen satu sama lain dalam arah yang sama dan kemudian menjumlahkan hasil perkalian tersebut.
   • Jika Anda bekerja dengan program grafik komputer, pertama-tama kunjungi bagian "Tip" sebelum melanjutkan.
   • Dalam istilah matematika, • = u₁v₁ + u₂v₂, dimana u = (u₁, u₂). Jika vektor Anda memiliki lebih dari dua komponen, lanjutkan saja menambahkan + u₃v₃ + u₄v₄...
   • Dalam contoh kita, • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Ini adalah nilai produk skalar antara vektor dan.

5. 

   Gantikan hasil ini dalam rumus kosinus. Ingatlah, cosθ = (•) / (||i>i> || ||). Kami telah menghitung produk skalar dan modul dari dua vektor. Sekarang, mari ganti nilai-nilai ini dalam rumus dan hitung cosinus sudutnya.
   • Dalam contoh kita, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Temukan sudut berdasarkan kosinus Anda.
   Gunakan fungsi arc atau cos kalkulator untuk menentukan sudut θ dari nilai cosinus Anda. Dalam beberapa kasus, Anda mungkin dapat menemukan nilai sudut berdasarkan lingkaran satuan.
   • Dalam contoh kita, cosθ = √2 / 2. Ketik "arccos (√2 ​​/ 2)" di kalkulator Anda untuk mencari sudutnya. Pilihan lain adalah mencari sudut θ dari lingkaran satuan di mana cosθ = √2 / 2: ini akan benar untuk θ = /₄ atau 45 °.
   • Gabungkan semua informasi bersama-sama, kita akan memiliki rumus akhir θ = arccosine ((•) / (||i> E5E5E5 || ||))

Bagian 2 dari 2: Menentukan rumus untuk menghitung sudut

1. 

   Pahami tujuan rumus tersebut. Rumus yang kami gunakan untuk menghitung sudut antara dua vektor tidak diturunkan dari aturan yang sudah ada sebelumnya; sebagai gantinya, ia dibuat sebagai definisi produk skalar antara dua vektor dan sudut di antara keduanya. Namun keputusan ini tidak sembarangan. Dengan melihat lebih dekat pada geometri dasar, kita dapat melihat mengapa rumus ini menghasilkan definisi yang berguna dan intuitif.
   • Contoh berikut menggunakan vektor dua dimensi karena merupakan tipe yang paling intuitif untuk digunakan. Vektor tiga dimensi atau lebih memiliki propertinya yang ditentukan dari rumus umum (juga dengan cara yang sangat mirip).

2. 

   Tinjau hukum kosinus. Dalam segitiga apa pun, pertimbangkan sudut θ yang dibentuk oleh sisinya Itu dan B dan samping ç berlawanan dengan sudut itu. Menurut hukum kosinus, c = a + b -2abemban(θ). Demonstrasi rumus ini dapat dengan mudah diperoleh dari pengetahuan tentang geometri dasar.

3. 

   Hubungkan kedua vektor tersebut untuk membentuk segitiga. Gambarkan sepasang vektor, dan, dengan sudut θ di antara keduanya. Kemudian, gambar vektor ketiga di antara keduanya untuk membentuk segitiga. Dengan kata lain, gambarkan vektor sedemikian rupa sehingga + =, atau cukup = -.

4. 

   Terapkan hukum kosinus pada segitiga ini. Ganti panjang sisi kami segitiga vektor (yaitu, modul vektor) dalam rumus hukum kosinus:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||emban(θ)

5. 

   Tulis ulang rumus menggunakan produk skalar. Ingatlah bahwa perkalian titik adalah pembesaran dari satu vektor yang diproyeksikan ke vektor lainnya. Produk skalar dari vektor itu sendiri tidak memerlukan proyeksi karena tidak ada perubahan arah. Artinya • = || a ||. Berdasarkan informasi ini, mari kita tulis ulang persamaan hukum kosinus:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||emban(θ)

6. 

   Sederhanakan rumusnya. Perluas hasil kali di sisi kiri persamaan lalu sederhanakan hingga Anda mencapai rumus yang kita ketahui untuk menghitung sudut.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||emban(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||emban(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||emban(θ)
   • • = || a || || b ||emban(θ)

Tips

• Untuk penyelesaian cepat, terapkan rumus berikut ke pasangan vektor dua dimensi apa pun: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Jika Anda bekerja dengan program grafik komputer, kemungkinan besar Anda hanya perlu mengetahui arah vektor, bukan panjangnya. Ikuti langkah-langkah di bawah ini untuk menyederhanakan persamaan dan mempercepat program Anda:
  • Normalisasikan setiap vektor, yaitu mencari vektor satuan yang searah dengan vektor aslinya. Untuk melakukan ini, bagi setiap komponen vektor dengan modul vektor.
  • Hitung produk skalar dari vektor yang dinormalisasi, bukan vektor aslinya.
  • Karena modulus (yaitu, panjang) vektor yang dinormalisasi adalah kesatuan, kita dapat mengeluarkannya dari rumus. Persamaan terakhir Anda untuk menghitung sudut adalah busur (•).
• Berdasarkan rumus hukum kosinus, kita dapat dengan cepat mengetahui apakah sudut tersebut lancip atau tumpul. Mulailah dengan cosθ = (•) / (||i>i> ||i>i>):
  • Ruas kiri dan kanan persamaan harus bertanda sama (positif atau negatif).
  • Karena panjangnya selalu positif, cosθ akan selalu memiliki tanda yang sama dengan hasil kali skalar.
  • Oleh karena itu, jika hasil kali skalar positif, cos akan positif. Ini berarti sudut berada di kuadran pertama lingkaran satuan, yaitu θ <π / 2 atau 90 °. Oleh karena itu, sudutnya lancip.
  • Jika hasil kali skalar negatif, cosθ negatif. Artinya, sudut berada pada kuadran kedua lingkaran satuan, yaitu π / 2 <θ ≤ π atau 90 ° <θ ≤ 180 °. Oleh karena itu, sudutnya tumpul.