Isi

• Langkah
• Tips
• Peringatan

Sebelum kalkulator tiba, siswa dan guru harus menghitung akar kuadrat dengan tangan. Beberapa metode telah berevolusi untuk menangani proses yang menakutkan ini dengan lebih baik, beberapa membawa perkiraan dan yang lainnya memiliki nilai yang lebih akurat. Untuk mempelajari cara menghitung akar kuadrat dengan tangan menggunakan operasi sederhana, baca Langkah 1 memulai.

Langkah

Metode 1 dari 2: Menggunakan faktorisasi prima

1. 

   Bagilah angka tersebut dengan faktor kuadrat sempurna. Metode ini menggunakan faktor-faktor angka untuk menghitung akar kuadrat (tergantung pada nilainya, ini mungkin merupakan jawaban yang akurat atau diperkirakan). Kamu faktor dari sejumlah adalah kumpulan orang lain yang berlipat ganda untuk mencapainya. Anda bisa mengatakan, misalnya, apa faktornya dan mengapa. Sebaliknya, kuadrat sempurna adalah bilangan bulat hasil perkalian antara bilangan bulat lainnya. Nilai, dan, misalnya, adalah kuadrat sempurna karena masing-masing dapat diwakili oleh, dan. Faktor kuadrat sempurna, seperti yang bisa Anda bayangkan, juga merupakan kuadrat sempurna. Untuk mulai mencari akar kuadrat melalui faktorisasi prima, kurangi nilainya menjadi faktor kuadrat sempurna Anda.
   • Dalam satu contoh, Anda harus menghitung akar kuadrat tangan. Untuk memulai, bagi saja nilainya menjadi faktor-faktor kuadrat sempurna Anda. Karena ini adalah kelipatan, masih diketahui bahwa itu habis dibagi - kuadrat sempurna. Pembagian mental yang cepat akan membuat Anda melihat bahwa angka itu cocok dengan angka, yang kebetulan juga merupakan kuadrat sempurna. Oleh karena itu, faktor kuadrat sempurna dari akan menjadi dan mengapa.
   • Tahap pertama dari latihan ini akan ditulis sebagai:

2. 

   
   
   Hitung akar kuadrat dari faktor-faktor kuadrat sempurna. Properti dari produk akar kuadrat menyatakan bahwa, untuk setiap nilai dan data ,. Karena itu, sekarang akar kuadrat dari faktor-faktor tersebut dapat diekstrak dan dikalikan untuk mendapatkan jawabannya.
   • Dalam contoh di atas, akar kuadrat dari dan akan diambil sebagai berikut:

3. 

   
   
   Kurangi nilai yang dihasilkan menjadi suku yang paling sederhana, jika tidak memungkinkan untuk memfaktorkannya dengan sempurna. Dalam praktiknya, angka tersebut tidak mungkin sempurna dan tepat dengan faktor-faktor yang juga merupakan kuadrat sempurna (seperti). Dalam kasus seperti itu, mungkin tidak mungkin untuk mendapatkan jawaban lengkap yang tepat. Sebaliknya, dengan menentukan faktor-faktor yang mungkin merupakan kuadrat sempurna, Anda dapat menghitung jawaban berdasarkan akar kuadrat yang lebih kecil, lebih sederhana, dan lebih mudah digunakan. Kurangi saja angkanya menjadi kombinasi faktor-faktor yang merupakan kuadrat sempurna dengan yang tidak. Kemudian, sederhanakan hasilnya.
   • Misalkan akar kuadrat digunakan sebagai contoh. Angka ini bukan hasil perkalian dua kuadrat sempurna, jadi tidak mungkin sampai pada nilai integer seperti pada kasus sebelumnya. Namun, ini adalah hasil perkalian antara kuadrat sempurna dan bilangan lain - e. Data ini akan digunakan untuk memajukan pencarian jawaban dalam istilah yang paling sederhana, sebagai berikut:

4. 

   
   
   Jika perlu, buat perkiraan. Dengan akar kuadrat dalam istilah yang paling sederhana, lebih mudah untuk memperkirakan respons numerik dengan menetapkan nilai akar kuadrat yang tersisa dan mengalikan nilai yang sesuai. Salah satu cara untuk memandu diri Anda dalam memperkirakan ini adalah dengan mencari kuadrat sempurna di sebelah angka dalam akar kuadrat. Anda akan mengetahui bahwa tempat desimal dari angka itu berada di antara kedua nilai ini dan, oleh karena itu, akan lebih mudah untuk menentukan apa yang ada di antara keduanya.
   • Kembali ke contoh dan menjadi e, Anda dapat melihat bahwa itu berada di antara e - dan mungkin lebih dekat ke bilangan yang lebih besar. Saat memperkirakan Anda akan menemukannya. Cukup periksa operasi dengan bantuan kalkulator dan Anda akan melihat bahwa Anda telah mendekati jawaban sebenarnya ().
     • Ini juga berfungsi dalam jumlah yang lebih besar. Dimungkinkan, misalnya, untuk memperkirakan bahwa itu adalah antara dan (mungkin lebih dekat ke angka yang lebih besar). Jika e dan berada di antara kedua nilai, kemungkinan besar akar kuadratnya juga berada di antara dan. Mengingat bahwa ini hanya selangkah lagi, Anda dapat dengan yakin menyatakan bahwa akar kuadrat Anda adalah segera di bawah nilainya. Saat melakukan perhitungan pada kalkulator, Anda sampai pada hasilnya - asumsi itu benar.

5. 

   Pertama, kurangi angkanya menjadi beberapa minimum umum. Tidak perlu mencari faktor yang merupakan kuadrat sempurna jika Anda bisa menentukan faktor prima dari sebuah bilangan (yaitu, itu juga merupakan bilangan prima). Tulis nilai yang dimaksud berdasarkan kelipatan minimum. Selanjutnya, cari pasangan bilangan prima yang cocok satu sama lain. Jika Anda menemukan dua opsi yang memenuhi persyaratan ini, keluarkan dari akar kuadrat dan tempatnya Sebuah dari mereka di luar.
   • Sebagai contoh, cobalah mencari akar kuadrat dari dengan metode ini. Diketahui itu dan itu. Karena itu, akar kuadrat dapat ditulis dalam faktor-faktornya :. Ambil saja dua yang ada di dalam root dan tempatkan salah satunya di luar untuk sampai pada istilah yang paling sederhana:. Dari sini, mudah untuk diperkirakan.
   • Sebagai contoh terakhir, coba hitung akar kuadrat dari:
     • 
       Di sini ada beberapa nilai di dalam akar kuadrat - karena ini adalah bilangan prima, ambil saja salah satu pasangannya dan tempatkan salah satu unitnya di luar.
     • Hasilnya, akar kuadrat dalam suku-suku paling sederhananya adalah atau. Dari sini, Anda dapat memperkirakan nilai dari dan jika Anda mau.

Metode 2 dari 2: Menghitung Akar Pangkat Dua Secara Manual

1. 

   Pertama, pisahkan spasi dari angka secara berpasangan. Metode ini menggunakan proses yang mirip dengan pembagian panjang untuk menghitung akar kuadrat tepat, satu rumah pada satu waktu. Meskipun tidak penting, Anda mungkin menemukan bahwa prosesnya lebih mudah jika diatur secara visual dan jumlahnya dibagi menjadi beberapa bagian. Hal pertama yang harus dilakukan adalah menggambar garis vertikal yang memisahkan area kerja menjadi dua bagian, kemudian membuat garis horizontal yang lebih kecil di dekat kanan atas agar ada bagian kecil di bagian atas dan yang besar di bagian bawah. Sekarang, pisahkan spasi dari nomor berpasangan yang dimulai dengan koma: mengikuti aturan ini, misalnya, menjadi. Tuliskan nilai di atas ruang kiri.
   • Dalam satu contoh, coba hitung akar kuadrat dari. Buatlah dua garis untuk membagi area kerja seperti pada kasus sebelumnya dan tulis di bagian atas ruang kiri, dan jangan khawatir jika hanya ada satu angka di sebelah kiri, bukan berpasangan. Anda harus menulis jawaban () di bagian kanan atas.

2. 

   Cari tahu mana bilangan bulat terbesar yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan bilangan (atau pasangan bilangan) di sebelah kiri. Mulailah dengan bagian paling kiri dari bilangan Anda, apakah itu pasangan atau nilai yang terisolasi. Tentukan kuadrat sempurna terbesar yang kurang dari atau sama dengan angka tersebut dan ambil akar kuadratnya: nilai ini diwakili oleh. Tuliskan di kanan atas dan tulis persegi Anda di kuadran kanan bawah.
   • Dalam contoh, bagian paling kiri adalah nomornya. Seperti diketahui bahwa, dimungkinkan untuk menyatakan bahwa, karena ini adalah nilai bilangan bulat terbesar yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan. Tulislah di kuadran atas - ini akan menjadi kuadrat pertama dari hasil. Kemudian tulis (kuadrat dari) di kuadran kanan bawah - nilai ini akan menjadi penting untuk langkah selanjutnya.

3. 

   Mengurangi nomor pasangan yang baru dihitung di sebelah kiri. Seperti dalam pembagian panjang, langkah selanjutnya adalah mengurangi kuadrat yang ditemukan dari bagian yang baru dipelajari. Tuliskan nilai ini di bawah bagian pertama dan lakukan pengurangan yang sesuai, tulis jawabannya di bawah.
   • Dalam contoh, satu akan ditempatkan di bawah yang satu untuk melakukan pengurangan. Jawabannya di sini akan sama dengan.

4. 

   Turun ke pasangan berikutnya. Pindahkan bagian berikutnya dari nomor pelajaran ke bawah dan di samping nilai pengurangan yang baru saja Anda temukan. Kemudian kalikan nilai di kanan atas dengan dan tulis jawabannya di kuadran kanan bawah. Sekarang pisahkan spasi untuk soal perkalian di langkah berikutnya :.
   • Dalam contoh, pasangan berikutnya yang tersedia adalah. lihat saja di dekat kuadran kiri bawah. Kemudian kalikan nilainya dengan dan dapatkan, sehingga. Tulis di pojok kanan bawah, diikuti dengan.

5. 

   Isi bagian yang kosong di kuadran kanan. Masing-masing sekarang akan memiliki bilangan bulat yang sama. Ini harus menjadi yang terbesar yang memungkinkan hasil perkalian di sebelah kanan menjadi kurang dari atau sama dengan bilangan yang sekarang ada di sebelah kiri.
   • Dalam contoh, mengisi bagian yang kosong dengan hasil :. Ini adalah nilai yang lebih besar dari. Dengan cara itu, itu terlalu besar, tetapi mungkin akan berhasil. Tulis di tempat kosong dan lanjutkan: Dipastikan memenuhi kebutuhan karena, kemudian tulislah angkanya di kuadran kanan atas.Ini adalah kuadrat kedua pada akar kuadrat dari.

6. 

   Kurangi nilai yang dihitung dari angka yang sekarang di sebelah kiri. Lanjutkan pengurangan dengan gaya yang sama seperti pembagian panjang. Ambil hasil soal perkalian di kuadran kanan dan kurangi dari nilai yang sekarang ada di sisi kiri, letakkan jawaban Anda tepat di bawah.
   • Dalam contoh, ini akan dikurangi dari, menghasilkan.

7. 

   Ulangi Langkah 4. Gulir ke bawah ke bagian berikutnya dari angka yang akar kuadratnya sedang dihitung. Saat Anda mencapai koma, tulis desimal pada jawaban di kuadran kanan atas. Kemudian, kalikan nilai di kanan atas dengan dan tulis operasi dengan warna putih () seperti sebelumnya.
   • Dalam contoh, saat koma dicapai sekarang, tulislah tepat setelah jawaban saat ini di kanan atas. Kemudian turunkan pasangan berikutnya () di kuadran kiri. Dengan mengalikan dengan nilai di kanan atas (), Anda mendapatkan - tulis di kuadran kanan bawah.

8. 

   Ulangi Langkah 5 dan 6. Temukan nilai desimal terbesar yang mampu mengisi bagian yang kosong di sebelah kanan yang memberikan hasil kurang dari atau sama dengan angka yang sekarang ada di sebelah kiri. Kemudian lanjutkan ke masalahnya.
   • Dalam contoh ,, yang kurang dari atau sama dengan bilangan di sebelah kiri (). Mengamati itu, yang terlalu tinggi, Anda sampai pada kesimpulan bahwa itu adalah jawaban yang Anda cari. Tuliskan sebagai tempat desimal berikutnya di kuadran kanan atas dan kurangi hasil perkalian dengan angka di kiri :.

9. 

   Lanjutkan menghitung tempat desimal. Jatuhkan sepasang angka nol ke kiri dan ulangi Langkah 4, 5 dan 6. Untuk ketepatan yang lebih tinggi, lanjutkan untuk mengulangi proses tersebut sampai Anda menemukan perseratus, per seribu, dan seterusnya dalam jawaban Anda. Lanjutkan saja dalam siklus ini sampai Anda mencapai hasil di tempat desimal yang diinginkan.

Memahami prosesnya

1. 

   Tentukan bilangan yang akar kuadratnya akan dihitung sebagai luas persegi. Karena luas ini memiliki rumus, yang melambangkan panjang salah satu sisinya, saat mencoba mencari akar kuadrat dari nilainya, Anda mencoba menghitung panjang persegi yang bersangkutan.

2. 

   Tentukan variabel untuk setiap tempat desimal dalam jawaban Anda. Tetapkan variabel untuk menjadi tempat desimal pertama (akar kuadrat dihitung), menjadi yang kedua, menjadi yang ketiga, dan seterusnya.

3. 

   Tetapkan variabel alfabet untuk setiap bagian dari angka awal. Kaitkan variabel dengan pasangan pertama tempat desimal di (nilai awal), pasangan kedua tempat desimal, dan seterusnya.

4. 

   Pahami hubungan metode ini dengan pembagian panjang. Cara menghitung akar kuadrat ini pada dasarnya adalah soal pembagian panjang yang membagi bilangan awal dengan akar kuadratnya, memberi akar kuadratnya sebagai tanggapan. Seperti soal pembagian panjang, di mana bunga diarahkan ke satu tempat desimal pada satu waktu, di sini Anda harus fokus pada dua sekaligus (yang sesuai dengan tempat desimal akar kuadrat berikutnya).

5. 

   Temukan angka terbesar yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan. Tempat desimal pertama dalam jawaban mewakili bilangan bulat terbesar yang kuadratnya tidak melebihi (jadi). Dalam contoh, dan, sehingga.
   • Dalam satu contoh, jika Anda ingin membagi dengan menggunakan metode pembagian panjang, langkah pertama akan serupa: Anda harus mencari digit pertama () dan menemukan bilangan bulat terbesar yang, jika dikalikan, akan menghasilkan sesuatu yang kurang dari atau sama dengan. Pada dasarnya, ini tentang menemukan cara itu. Dalam hal ini, itu akan sama dengan.

6. 

   Visualisasikan persegi yang luasnya ingin Anda hitung. Jawabannya, yang merupakan akar kuadrat dari bilangan awal, akan diwakili oleh, yang menggambarkan panjang sebuah luas persegi (bilangan awal). Nilai untuk, dan mewakili tempat desimal yang ada di. Cara lain untuk meletakkan definisi ini adalah dengan menyatakan bahwa, dalam kasus jawaban dengan dua tempat desimal, dalam kasus jawaban dengan tiga tempat desimal, dan seterusnya.
   • Dalam contoh ,. Ingatlah bahwa ini mewakili jawaban dalam satuan dan puluhan. Mengambil dan sebagai contoh, itu akan menghasilkan nomor. Jika ini mewakili luas persegi, ini mewakili luas persegi internal terbesar, mewakili luas persegi internal terkecil dan mewakili luas setiap persegi panjang yang tersisa. Saat melakukan proses yang panjang dan rumit ini, Anda akan memiliki seluruh luas persegi, hanya dengan menambahkan luas yang dihitung dari persegi dan persegi panjang di dalamnya.

7. 

   Kurangi dari. Jatuhkan sepasang () tempat desimal. Ekspresi tersebut mewakili hampir seluruh area persegi, yang darinya persegi internal terbesar telah dikurangi. Sisanya, pada gilirannya, dapat diwakili oleh yang diperoleh dalam LANGKAH 4 (dalam contoh di atas). Di sini, (luas kedua persegi panjang ditambah luas persegi terkecil).

8. 

   Carilah, juga ditulis sebagai. Dalam contoh, Anda sudah mengetahui () dan (), dan sekarang perlu menghitung nilai. Ini mungkin bukan nilai integer, jadi Anda perlu Betulkah hitung seluruh kemungkinan terbesar yang memenuhi kondisi tersebut. Akhirnya, Anda akan ditinggalkan.

9. 

   Selesaikan operasi. Untuk melanjutkan, kalikan dengan, ubah posisi puluhan (ekivalen dengan mengalikan nilai dengan), letakkan di posisi unit dan kalikan hasilnya dengan. Dengan kata lain, lakukan saja operasinya. Ini sama seperti ketika menulis (ada) di kuadran kanan bawah yang ada di LANGKAH 4. Sudah di LANGKAH 5, pada gilirannya, Anda akan menemukan nilai bilangan bulat terbesar yang sesuai di ruang kosong yang memenuhi syarat.

10. 

    Kurangi luasnya dari total luas. Ini menghasilkan area yang sampai sekarang diabaikan (dan yang akan digunakan untuk menghitung kuadrat berikutnya dengan cara yang sama).

11. 

    Untuk menghitung tempat desimal berikutnya, cukup ulangi prosesnya. Gulir ke bawah ke pasangan berikutnya () dari untuk sampai ke kiri dan cari nilai tertinggi yang memenuhi kondisi (setara dengan menulis dua kali nilai dengan dua tempat desimal disertai dengan. Cari nilai desimal tertinggi yang mungkin di tempat kosong yang membawa hasil kurang dari atau sama dengan, seperti sebelumnya.

Tips

• Metode ini bekerja dengan basis apa pun - bukan hanya basis (desimal).
• Dalam contoh, "istirahat" dapat dianggap:
  
• Metode alternatif yang menggunakan pecahan kontinu mengikuti rumus ini:
  
  Dalam satu contoh, untuk menghitung akar kuadrat dari, bilangan bulat yang kuadratnya paling mendekati angka awal adalah, sehingga, e. Saat memasukkan nilai dalam rumus dan membulatkan perkiraan, itu sudah membawa hasil (nilai minimum), atau kira-kira (). Istilah berikutnya adalah, atau kira-kira (). Setiap suku tambahan menambahkan hampir tiga tempat desimal ketepatan sehubungan dengan upaya sebelumnya.

Peringatan

• Ingatlah untuk memisahkan tempat desimal berpasangan dari koma. Pemisahan tentang bagaimana, misalnya, akan membawa hasil yang tidak berguna.