Isi

• tahap
• Bagian 1 Tinjau dasar-dasar kalkulus yang sangat kecil
• Bagian 2 Memahami derivatif
• Bagian 3 Memahami integral

Dalam artikel ini: Meninjau Kembali Dasar-Dasar Komputasi InfinitesimalMenggunakan DerivatifMemahami Integral Referensi

Kalkulus sangat kecil adalah cabang matematika yang berhubungan dengan fungsi, batasnya, turunannya, integral, seri dan urutan tak terbatas. Ini adalah bagian penting dari matematika, karena menarik minat banyak sektor, seperti fisika atau mekanik. Level yang diperlukan untuk mengikuti artikel ini setidaknya dari Terminale, dan lebih pasti dari universitas. Namun, kami akan mencoba dalam artikel ini untuk meletakkan dasar kalkulus yang sangat kecil.

tahap

Bagian 1 Tinjau dasar-dasar kalkulus yang sangat kecil

1. 
   

   
   Kalkulus sangat kecil adalah studi tentang variasi. Ini adalah area yang memungkinkan untuk belajar, dengan angka, kurva dan persamaan, banyak fenomena kehidupan sehari-hari. Tentu saja, perhitungan semacam ini mungkin tampak sangat abstrak, tetapi pada kenyataannya, seseorang dapat, misalnya, mempelajari secara rinci kemajuan perusahaan Anda, atau mengetahui apa konsumsi pesawat ruang angkasa di ketinggian ini atau itu. Kalkulus sangat kecil banyak digunakan dalam bidang-bidang berikut: teknik, ekonomi, statistik, kimia, fisika ... Jumlah penemuan penting diizinkan oleh perhitungan khusus ini.

2. 
   

   
   Fungsi membangun hubungan antara dua nilai. Paling sering, kami mencoba, untuk memecahkan masalah, untuk menemukan fungsi untuk menggambarkan dunia di sekitar kita. Karena fungsi menghubungkan nilai, dimungkinkan untuk membuat grafik (kurva). Dalam suatu fungsi, setiap anteseden memiliki gambar. Ambil fungsinya: y = 2x +4. Setiap nilai baru "x" (anteseden) memberikan nilai baru "y" (gambar). Jadi, jika x = 2, maka y = 8, dan jika x = 10, maka y = 24. Kalkulus yang sangat kecil berhubungan lebih khusus dengan perubahan fenomena.
   • Fungsi, misalnya, ditulis dalam bentuk berikut: f (x) = x + 3. Jelas, setiap kali Anda mengganti x dengan nilai, Anda harus menambahkan 3 untuk memiliki f (x), juga disebut " y ». Ini adalah bagaimana f (2) = 2 + 3 = 5.
   • Fungsi dapat menjelaskan gerakan kompleks. European Space Agency (ESA) telah memasuki ribuan fungsi komputernya yang memungkinkan, misalnya, untuk menghitung kecepatan atau lintasan pesawat ruang angkasa menurut ketinggian, konsumsi bahan bakar, kecepatan angin, berat dari pesawat ruang angkasa ...

3. 
   

   
   
   
   Sangat penting untuk memahami apa yang sedang didefinisikan. Ini adalah konsep yang agak sulit untuk didefinisikan dan yang dapat, misalnya menggambarkan suatu fenomena yang berulang, tanpa henti atau tanpa batas: adakah yang tidak pernah pergi sampai akhir? Kita dapat mendekati gagasan ketidakterbatasan dengan bertanya bagaimana bisa berevolusi, misalnya, operasi matematika jika kita mengulanginya tanpa batas. Anda merasakannya, pada akhirnya ada gagasan perubahan, dan modifikasi inilah yang ingin ditekankan oleh kalkulus yang sangat kecil. Jadi Anda dapat menentukan kecepatan mobil Anda pada suatu saat ttapi bagaimana dengan detik selanjutnya? Pada milidetik berikutnya? Pada nanosecond selanjutnya? Anda melihat bahwa kita menyentuh gagasan tentang ketidakterbatasan dan pada tahap ini kita membutuhkan kalkulus yang sangat kecil.

4. 
   

   
   Memahami apa batas dari suatu fungsi. Batas menunjukkan nilai kemana suatu fungsi cenderung. Mari kita ambil angka 1 dan membaginya dengan 2. Mari kita ulangi pembagian ini hingga tak terbatas, kita akan mendapatkan 1/2, lalu 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, dan seterusnya. Seperti yang Anda lihat, hasilnya semakin kecil dan lebih dekat ke 0. Tapi berapa batasnya? Berapa kali akan dibagi untuk mendapatkan 0? Dalam kalkulus sangat kecil, kami tidak mencoba menjawab pertanyaan: kami mengatakan bahwa ada a batasdan ini 0.
   • Batas jauh lebih baik pada grafik - Anda dapat melihat kurva semakin dekat ke nilai tanpa membanting.
   • Batas dapat berupa nilai numerik (positif atau negatif), + ∞ (ditambah tak terhingga), - ∞ (kurang disempurnakan), atau tidak ada. Jadi, jika Anda menghasilkan 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ..., Anda mencurigai bahwa batasnya akan menjadi angka besar: batasnya adalah + ∞.

5. 
   

   
   
   
   Tinjau konsep aljabar, trigonometri, dan geometri Anda. Kalkulus yang sangat kecil tidak akan mungkin tanpa penguasaan cabang matematika tertentu yang mungkin telah Anda pelajari di perguruan tinggi atau sekolah menengah. Jika Anda menguasai bidang-bidang ini dengan baik, Anda akan memiliki lebih sedikit kesulitan dalam memahami kalkulus sangat kecil. Berikut adalah beberapa bidang yang harus ditinjau sepenuhnya.
   • Lalgebra: cabang matematika ini memungkinkan untuk menerapkan sifat operasi dan perlakuan persamaan, tunggal atau ganda. Dia juga tertarik pada ansambel,
   • Geometri: cabang ini mempelajari angka-angka dari pesawat dan ruang. Tinjau properti dari angka-angka tertentu, seperti segitiga, kotak, lingkaran ... Anda harus tahu cara menghitung area mereka, batas-batasnya ... Anda harus memiliki pengetahuan yang baik tentang apa sudut, garis, koordinat.
   • Trigonometri: ini adalah cabang matematika yang tertarik pada sifat-sifat lingkaran dan segitiga siku-siku. Anda harus menguasai dengan sempurna identitas trigonometri, kurva, fungsi trigonometri (sesederhana terbalik).

6. 
   

   
   Beli kalkulator grafik. Kalkulus sangat kecil sangat abstrak, jadi kita harus mencoba memvisualisasikan hasil yang diperoleh oleh perhitungan ini. Dengan kalkulator grafik, dimungkinkan untuk melihat grafik fungsi dan akhirnya, untuk lebih memahami apa yang terjadi. Mesin ini menampilkan batas fungsi, tetapi juga turunan dan primitif.
   • Jika Anda tidak ingin berinvestasi dalam kalkulator nyata, ketahuilah bahwa ada aplikasi untuk smartphone atau tablet dengan biaya rendah, yang tidak berarti bahwa mereka kurang dapat diandalkan daripada kalkulator.

Bagian 2 Memahami derivatif

1. 
   

   
   Kalkulus infinitesimal digunakan untuk studi "variasi sesaat". Untuk mengetahui mengapa sesuatu berubah pada saat tertentu adalah alasan untuk menjadi kalkulus yang sangat kecil. Jadi, minat kalkulus sangat kecil, untuk mengambil contoh, pada kecepatan mobil yang variasi kecepatan yang dapat mengetahui pada saat ini atau saat itu saja. Pada awalnya mungkin terlihat tidak menarik, tetapi bayangkan apa yang bisa dimiliki oleh pengetahuan ini sebagai dampak untuk menghitung konsumsi bahan bakar jutaan kendaraan. Bayangkan ini untuk pesawat ruang angkasa yang tahu banyak variasi gaya dorong!
   • Menemukan variasi sesaat dimungkinkan oleh penurunan. Ini adalah salah satu dari dua komponen utama dari kalkulus sangat kecil.

2. 
   

   
   Dengan turunan, kita dapat menganalisis variasi sesaat. Kata "turunan" terdengar seperti sesuatu yang membingungkan: kita melayang! Tapi itu bukan apa-apa, sebaliknya, untuk memperoleh fungsi memungkinkan untuk mengetahui "bagaimana sesuatu bervariasi".Oleh karena itu, istilah "turunan" sering menyiratkan gagasan kecepatan, yang menyiratkan perubahan, variasi. Alih-alih berbicara tentang "turunan kecepatan", kita berbicara lebih umum "akselerasi", sebuah gagasan yang semua orang tahu.
   • Akselerasi adalah turunan, itu mewakili variasi kecepatan, ke bawah maupun ke atas, dari suatu gerakan sebagai fungsi waktu.

3. 
   

   
   Tingkat perubahan disebut kemiringan. Ini diukur antara dua titik lintasan dan diperoleh berkat kalkulus yang sangat kecil. Variasi antara dua titik adalah kemiringan garis lurus yang menghubungkannya. Ambil garis linier yang ditentukan oleh fungsi: y = 3x. Kemiringannya (juga disebut "koefisien kemudi") adalah 3, yang berarti bahwa untuk setiap nilai baru x, y dikalikan dengan 3. Istilah kemiringan dan laju perubahan dapat dipertukarkan: hak naik gaya 3 untuk setiap nilai x. Jadi, ketika x = 2, y = 6, dan ketika x = 3, y = 9.
   • Kemiringan sesuai dengan rasio antara variasi y dan variasi x yang sesuai.
   • Semakin curam lereng, curam kurva. Kurva yang curam identik dengan variasi yang signifikan dalam fenomena tersebut.
   • Jika perlu, baca artikel ini untuk mengingatkan Anda cara menghitung kemiringan.

4. 
   

   
   Dimungkinkan untuk menghitung kemiringan pada kurva apa pun. Menemukan kemiringan garis lurus itu sederhana: berapa y meningkat dengan setiap perubahan x? Bagaimana dengan kurva kompleks seperti fungsi y = x? Ini sedikit lebih sulit karena kurva tidak linier. Namun, adalah mungkin untuk menghitung kemiringan di antara dua titik kurva ini: cukup untuk menggambar segmen garis di antara dua titik ini sebelum menghitung kemiringan, yang akan memberi Anda tingkat variasi.
   • Dengan demikian, dengan y = x, cukup untuk menemukan dua titik garis dan satu akan dapat menghitung kemiringannya. Ambil poinnya (1,1) dan (2,4). Kemiringan sama dengan: (4 - 1) / (2 - 1) = 4/2 = 2. Ini berarti bahwa laju perubahan antara x = 1 dan x = 2 adalah 2.

5. 
   

   
   Untuk tingkat perubahan yang tepat, dekatkan dua poin. Semakin dekat poin Anda, semakin akurat analisis Anda. Katakanlah Anda ingin tahu seberapa cepat mobil Anda berakselerasi saat Anda menekan pedal akselerator. Ini tidak sama dengan mengetahui perbedaan kecepatan antara rumah Anda dan toko kelontong lokal: Anda ingin, misalnya, mengetahui perbedaan kecepatan satu detik setelah menekan pedal. Semakin pendek interval waktu referensi Anda, semakin baik analisis Anda.
   • Mari kita ambil contoh lain: para ilmuwan sedang mempelajari hilangnya spesies hewan tertentu selama tahun ini, tujuannya adalah untuk menemukan parade. Kita tahu, misalnya, bahwa mereka mati jauh lebih banyak di musim dingin daripada di musim panas. Anda mengerti bahwa jika kita ingin membantu hewan-hewan ini, kita harus mempelajari laju kerugian bukan pada tahun itu, tetapi selama musim dingin, misalnya, selama bulan Januari.

6. 
   

   
   Bayangkan sejumlah besar segmen kecil. Berkat mereka, Anda akan menemukan "tingkat perubahan sesaat", juga disebut "turunan". Ini agak sulit untuk dipahami, tetapi ingat dua prinsip: kemiringan antara dua titik memberikan tingkat perubahan, dan semakin dekat Anda, semakin baik pengukuran tingkat ini. Namun, bagaimana kita bisa menghitung laju perubahan dalam satu titik jika kemiringan terkait, secara alami, dua poin? Dalam kalkulus sangat kecil, ada jawaban: ambil dua titik terdekat dengan titik ini.
   • Mari kita ambil contoh membagi 1 dengan 2, lalu 2 lagi, dan seterusnya. Kami berturut-turut memperoleh 1/2, 1/4, 1/8, dll. Anda merasakannya, kami akan mendekati 0, jawabannya akan: "praktis nol". Poin semakin dekat dan dekat, sedemikian rupa sehingga pada titik tertentu mereka akan sangat dekat sehingga kita dapat berbicara tentang tingkat instan. Inilah yang dilakukan derivatif: ia akan mencari nilai setepat mungkin.

7. 
   

   
   Pelajari berbagai rumus derivasi. Bergantung pada fungsinya, perlu untuk menggunakan rumus derivasi ini atau itu. Namun, semua mengikuti prinsip yang sama seperti yang dinyatakan sebelumnya. Apa pun turunannya, itu memungkinkan untuk memperoleh kemiringan "segmen sekecil mungkin" dari kurva. Cukup untuk teori, tempat untuk perhitungan!

8. 
   

   
   Tentukan derivatif untuk menghitung laju perubahan. Ini akan memungkinkan Anda untuk menghitungnya kapan saja. Sementara turunan berguna untuk menemukan tingkat perubahan dalam suatu titik, tetapi dengan kalkulus sangat kecil, yang baik adalah Anda dapat membuat model untuk setiap fungsi. Sebagai contoh, turunan dari y = x adalah y = 2x. Seperti yang Anda lihat, setiap kali Anda mengambil nilai x, Anda dapat menghitung turunan pada titik itu. Yang terakhir tentu saja pada kurva. Perhitungannya sederhana, Anda mengganti x pada fungsi yang diturunkan nilainya. Jadi, pada titik (2, 4), dengan x = 2 dan y = 4, turunannya adalah 4, karena y = 2 x 2.
   • Derivatif ditandai dengan tanda superskrip: turunan dari y adalah: y (baca "y prime").

9. 
   

   
   Pikirkan contoh kehidupan sehari-hari. Jika Anda kesulitan memahami prinsip turunan, pikirkan contoh konkret yang melibatkan kecepatan. Kami mengingatkan Anda bahwa turunan mengukur kecepatan variasi kuantitas sesaat. Ambil contoh bola klasik yang akan dilepas di bagian atas bidang miring. Tujuan kami adalah untuk mengetahui, pada setiap saat balapannya, jarak yang akan ditempuh dan kecepatan yang akan dicapai. Ini akan mengemukakan bahwa perlombaan bola di sepanjang bidang miring adalah garis lurus. Berkat turunannya kita dapat menghitung variasi sesaat pada titik mana pun, dari lintasan bola di sini.
   • Seberapa cepat posisi bola berubah? Berapa laju perubahan, atau turunan, dari pergerakan bola? Turunan ini hanyalah "kecepatan".
   • Satu tetes tanpa kecepatan awal bola pada bidang miring dan satu berusaha untuk mengetahui bagaimana dibutuhkan kecepatan. Perbedaan kecepatan antara dua titik inilah yang ingin diketahui, tingkat variasi, turunan. Fenomena ini disebut "akselerasi".
   • Sekarang bayangkan marmer yang sama ini mengikuti jalur "roller coaster" yang khas. Kami mencoba mencari tahu bagaimana bola ini mendapatkan kecepatan dalam penurunan dan bagaimana ia kalah dalam naik. Seseorang dapat, misalnya, bertanya-tanya seberapa cepat ia bergerak di tengah pendakian pertama. Kecepatannya akan menjadi turunan dari fungsi lintasan pada titik yang sangat tepat ini.

Bagian 3 Memahami integral

1. 
   

   
   Kalkulus infinitesimal digunakan untuk menghitung permukaan dan volume yang tidak teratur. Tanpa itu, akan sangat panjang dan rumit untuk menghitung area dan volume ini. Dan lagi, hasilnya hanya perkiraan! Bayangkan Anda ingin menghitung volume air sebuah danau besar dengan kontur tidak beraturan. Volume ini tidak dapat diatur menggunakan ember atau bahkan wadah yang lebih besar, sama seperti tidak mungkin untuk mengukur permukaan. Berkat kalkulus yang sangat kecil dan sesuai dengan modifikasi tepi danau, orang dapat menghitung volume rencana air.
   • Ini dengan beberapa integrasi yang telah ditetapkan, misalnya, model (meteorologi, vulkanik ...). Integrasi adalah komponen kedua kalkulus sangat kecil.

2. 
   

   
   Integrasi memungkinkan Anda untuk mendapatkan hasilnya di bawah grafik. Oleh karena itu operasi ini memungkinkan untuk mengukur ruang di bawah kurva, apakah yang terakhir bujursangkar atau tidak. Ambil fungsi f (x) = x. Grafiknya adalah parabola dalam bentuk "U" yang naik ke atas. Misalkan Anda ingin menghitung jarak antara kurva dan sumbu x dalam interval yang diberikan: dimungkinkan berkat integral. Bagus! Pada awalnya mungkin tampak tidak menarik, tetapi diterapkan pada industri atau BTP, bayangkan sebuah karya yang akan ditelusuri kontur dengan bantuan fungsi. Lindustriel kemudian dapat, berkat integrasi, mengontrol jumlah material yang tepat yang ia perlukan untuk membuat karya-karyanya.

3. 
   

   
   Kami hanya dapat berintegrasi pada suatu interval. Tidak mungkin untuk mengintegrasikan suatu fungsi pada keseluruhan domain definisinya. Dengan demikian, fungsi y = x memberikan grafik tak terbatas, diagonal yang membagi dua kuadran kanan atas dan kiri bawah. Anda mengerti bahwa Anda tidak dapat mengintegrasikan seluruh kurva. Inilah sebabnya kami selalu memilih untuk berintegrasi pada suatu interval (yang umumnya ditulis "I"), misalnya, antara x = 2 dan x = 5.

4. 
   

   
   Ingat cara menghitung lebar persegi panjang. Ambil persamaan garis horizontal: y = 4. Untuk menemukan area di bawah garis ini, harus dibatasi. Kami akan mengambil, misalnya, kisaran antara x = 0 dan x = 4. Dengan menentukan interval "x", perhitungan ini akan sederhana, karena hanya ada garis lurus. Tetapi dengan grafik yang tidak teratur, perhitungannya menjadi jauh lebih sulit: kita tidak lagi memiliki persegi panjang.

5. 
   

   
   Integrasi terdiri dari penambahan bidang persegi panjang kecil. Mari kita jelaskan. Jika Anda memperbesar dengan kuat pada segmen kurva yang tidak beraturan, Anda hanya akan melihat segmen lurus, lurus. Ilusi ini sangat umum: kelengkungan bumi tidak terlihat saat berjalan di tanah. Jika kita kembali ke integrasi, ini adalah operasi yang mengukur tak terbatas persegi panjang kecil di bawah kurva. Mereka sangat kecil sehingga mereka muncul tanpa volume. Di sisi lain, dengan menambahkan semuanya, kita memperoleh kurva.
   • Seolah-olah Anda menumpuk di bawah grafik sejumlah besar persegi panjang kecil yang luasnya sebenarnya sama dengan 0, tetapi tidak sama.

6. 
   

   
   Ketahui cara menguraikan kata-kata integral. Integral berisi 4 elemen dan dalam bentuk:
   
   ∫ f (x) dx
   Simbol pertama, ∫, adalah simbol integrasi. Elemen kedua, f (x), adalah fungsi yang bersangkutan (2x + 2, t, dll), sedangkan elemen ketiga, dx, menunjukkan arah integrasi. Hanya celah integrasi yang hilang, yang merupakan elemen keempat.
   • Jika keseluruhan diikuti oleh dy, dan bukan dx seperti biasa, perlu untuk mengintegrasikannya: itu sedikit lebih rumit.

7. 
   

   
   Tahu cara mengatasi integral. Bergantung pada fungsinya, integrasi melewati berbagai formula. Namun, tujuannya sama dengan yang telah dilihat: integrasi adalah untuk menemukan total semua persegi panjang yang mungkin di bawah kurva. Sederhananya, kita dapat:
   • masukkan dengan substitusi,
   • mengintegrasikan ke dalam integral yang tidak terbatas,
   • diintegrasikan oleh bagian-bagian.

8. 
   

   
   Integrasi adalah kebalikan dari derivasi. Ini adalah realitas yang tidak berwujud, dan inilah yang ada di balik banyak kemajuan ilmiah. Kedua operasi itu saling terkait erat sehingga kami dapat menghitung tingkat variasi, akselerasi, kecepatan, lokasi, pergerakan ... apa pun data yang Anda miliki di awal.
   • Jadi, kita telah melihat bahwa akselerasi adalah turunan dari kecepatan. Sebaliknya, berkat integrasi akselerasi, kami akan menemukan kecepatannya. Jika Anda mengetahui percepatan (misalnya, bahwa benda jatuh jatuh bebas di bawah aksi gravitasi), dengan berintegrasi, Anda akan menemukan kecepatannya. Apakah untuk integrasi atau derivasi, satu potong data sudah cukup untuk data lain.

9. 
   

   
   Berkat integrasi, kami dapat menghitung volume. Volume dapat, misalnya, diperoleh dengan memutar objek dua dimensi pada dirinya sendiri. Bayangkan Anda membuat koin berputar sendiri dengan kecepatan tinggi: itu tampak bagi Anda sebagai bentuk volume, semacam bola. Berdasarkan pengalaman ini, Anda menyentuh apa yang disebut "volume yang dihasilkan oleh rotasi".
   • Jika Anda dapat menentukan fungsi yang membuat salah satu sisi volume Anda, Anda dapat dengan mudah menghitung volumenya. Dengan demikian, dimungkinkan untuk membayangkan memiliki fungsi yang menentukan profil dasar danau. Mulai dari fungsi ini, dimungkinkan, dengan mengintegrasikan, untuk menyimpulkan volume danau.